A mon sens, ils sont libres de le faire. Je m'explique : pour ce que j'en entends (je ne regarde pas) ils franchissent très régulièrement la barrière la diffamation, mais ne sont jamais attaqués.
Cela dit, la structure médiatique est telle qu'ils sont acculés : l'homme politique qui ferait un procès serait mal vu.
Sur le fond, je réprouve totalement le procédé que je ne trouve ni drôle ni honnête, on est très souvent, pour autant que je me souvienne, dans le mensonge militant plus que dans la caricature de propos à peu près tenus ou sous-entendus. Du coup, on est plus dans l'incantation que dans la déformation humoristique.
Je suis beaucoup plus sensible aux caricatures de presse, qui ont en outre, parfois, un vrai sens de la poésie. (Je recommande notamment Michel Kichka.)
Sur l'influence, elle est sans doute réelle, mais je n'ai aucune idée de l'ampleur.